Alors tu prends ton triangle ABC équilatérale là !
Donc traçons la hauteur de sommet A par exemple !
Elle va donc couper le côté [BC] du triangle en son milieu en un point I. On a donc BI = a/2 et IC = a/2.
Tu remarqueras que ton triangle initiale est maintent coupé en deux triangles rectangles égaux. Cool on a deux côtés dans chaque, on va faire Pythagore et trouver la hauteur !
Alors prenons le triangle BAI :
On connait dans ce triangle AB = a et BI = a/2.
Pythagore nous dit donc que : AB² = BI² - AI²
Donc AI² = AB² - BI² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 4a²/4 - a²/4 = 3a²/4
Donc AI = [racine carrée] 3a²/4 = a[racine carrée]3/2
Et voilà c'est prouvé, bien sur nous sommes dans un triangle équilatéral donc toutes les hauteurs sont de mêmes valeures