casse tete

Partie A
On considère l'équation : (E) z3 — (4 + i) z2 + (13 + 4i) z — 13i = 0 où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z3 — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = (z — i)(az² + bz + c).

3. En déduire les solutions de l'équation (E).

Partie B
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct , on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2 + 3i et 2 — 3i.

1. Soit r la rotation de centre B et d'angle pi/4. Déterminer l'affixe du point A', image du point A par la rotation r.

2. Démontrer que les points A', B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A'.